JavaScript BigInt楕円曲線暗号：高度な操作の徹底解説

分散型金融（DeFi）からエンドツーエンドの暗号化メッセージングまで、デジタルインタラクションが支配する時代において、暗号基盤の強さはかつてないほど重要になっています。楕円曲線暗号（ECC）は、最新の公開鍵暗号の柱として機能し、RSAなどの前身と比較して、より小さなキーサイズで堅牢なセキュリティを提供します。長年、JavaScriptでこれらの複雑な数学的演算を直接実行することは困難であり、低レベルの詳細を抽象化したり、JavaScriptの標準の数値型の制限に対処したりする特殊なライブラリが必要になることがよくありました。

JavaScript（ES2020）でのネイティブBigInt型の導入は、革命的な瞬間でした。64ビット浮動小数点Number型の制約から開発者を解放し、任意に大きな整数を処理するメカニズムを提供しました。この単一の機能により、ブラウザやNode.jsなどのJavaScript環境内で、パフォーマンスが高く、ネイティブで、より透過的な暗号実装の可能性が解き放たれました。

多くの開発者は、キーペアの生成やメッセージの署名など、ECCの基本に精通していますが、このテクノロジーの真の力は、より高度な操作にあります。この記事では、基本を超えて、BigIntのおかげでアクセスできるようになった高度な暗号プロトコルとテクニックを探求します。セキュアな鍵交換のための楕円曲線Diffie-Hellman（ECDH）、署名からの公開鍵復元、および強力で集約に優しいSchnorr署名について詳しく説明します。

JavaScript暗号におけるBigInt革命

高度な操作に入る前に、BigIntがJavaScriptの暗号化にとってなぜそれほど革新的なのかを理解することが重要です。

`Number`型の問題点

JavaScriptの従来のNumber型は、IEEE 754倍精度64ビット浮動小数点数です。この形式は幅広いアプリケーションに最適ですが、暗号化には重大な制限があります。Number.MAX_SAFE_INTEGER（2⁵³ - 1）までの整数しか安全に表現できません。

ECCの暗号鍵と中間値は、はるかに大きくなります。たとえば、BitcoinおよびEthereumで使用されている一般的なsecp256k1曲線は、256ビット長の素数のフィールドで動作します。これらの数値は、標準のNumber型が精度を失うことなく処理できるよりも桁違いに大きいです。このような数値で計算を実行しようとすると、不正確で安全でない結果につながります。

`BigInt`の導入：任意精度整数

BigIntは、この問題をエレガントに解決します。これは、任意のサイズの整数を表す方法を提供する個別の数値型です。整数リテラルの末尾に`n`を追加するか、BigInt()コンストラクターを呼び出すことで、BigIntを作成できます。

例：

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // BigIntで安全
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // 256ビットの素数

BigIntを使用すると、すべての標準算術演算子（+、-、*、/、%、**）は、これらの巨大な整数に対して期待どおりに機能します。この機能は、ネイティブJavaScript ECC実装が構築される基盤であり、外部WebAssemblyモジュールや面倒なマルチパート数値ライブラリに依存することなく、暗号アルゴリズムの直接的で正確かつ安全な計算を可能にします。

楕円曲線暗号の基本の再確認

高度な操作を理解するために、ECCのコアコンセプトを簡単に再確認しましょう。

その核心において、ECCは有限体上の楕円曲線の代数構造に基づいています。これらの曲線は、Weierstrass方程式によって定義されます。

y² = x³ + ax + b (mod p)

ここで、`a`と`b`は曲線の形状を定義する定数であり、`p`は有限体を定義する大きな素数です。

重要なコンセプト

• 曲線上の点：曲線方程式を満たす座標のペア（x、y）。すべての暗号操作は、基本的に「点演算」です。
• ベースポイント（G）：公に知られている、曲線上の標準化された開始点。
• 秘密鍵（d）：非常に大きく、暗号的に安全なランダムな整数。これがあなたの秘密です。BigIntのコンテキストでは、`d`は大きな`BigInt`です。
• 公開鍵（Q）：スカラー乗算と呼ばれる操作を介して、秘密鍵とベースポイントから導出された曲線上の点：Q = d * G。これは、点Gをそれ自体に`d`回追加することを意味します。

ECCのセキュリティは、楕円曲線離散対数問題（ECDLP）にかかっています。秘密鍵`d`とベースポイント`G`が与えられた場合、公開鍵`Q`を計算するのは計算的に簡単です。ただし、公開鍵`Q`とベースポイント`G`のみが与えられた場合、秘密鍵`d`を決定することは計算上不可能です。

高度な操作1：楕円曲線Diffie-Hellman（ECDH）鍵交換

ECCの最も強力なアプリケーションの1つは、安全でない通信チャネルを介して2つのパーティ間で共有シークレットを確立することです。これは、楕円曲線Diffie-Hellman（ECDH）鍵交換プロトコルを使用して実現されます。

目標

アリスとボブという2人が安全に通信したいと想像してください。彼らは、彼らだけが知っている対称暗号化キーに同意する必要がありますが、彼らの唯一の通信手段は、盗聴者であるイブが監視できる公開チャネルです。ECDHを使用すると、共有シークレットを直接送信することなく、同一の共有シークレットを計算できます。

プロトコル手順

1. 鍵生成：
   • アリスは彼女の秘密鍵`d_A`（大きなランダムBigInt）と、対応する公開鍵`Q_A = d_A * G`を生成します。
   • ボブは彼の秘密鍵`d_B`（別の大きなランダムBigInt）と、彼の公開鍵`Q_B = d_B * G`を生成します。
2. 公開鍵交換：
   • アリスは彼女の公開鍵`Q_A`をボブに送信します。
   • ボブは彼の公開鍵`Q_B`をアリスに送信します。
   • 盗聴者のイブは`Q_A`と`Q_B`の両方を見ることができますが、ECDLPのために秘密鍵`d_A`または`d_B`を導き出すことはできません。
3. 共有シークレットの計算：
   • アリスはボブの公開鍵`Q_B`を取り、それを彼女自身の秘密鍵`d_A`で乗算して、点Sを取得します：S = d_A * Q_B。
   • ボブはアリスの公開鍵`Q_A`を取り、それを彼自身の秘密鍵`d_B`で乗算して、点Sを取得します：S = d_B * Q_A。

可換性の魔法

アリスとボブはどちらも、曲線上のまったく同じ秘密の点`S`に到達します。これは、スカラー乗算が結合的かつ可換的であるためです。

アリスの計算：S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

ボブの計算：S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

d_A * d_B * G = d_B * d_A * Gであるため、彼らは秘密鍵を明かすことなく、同じ結果を計算します。

共有ポイントから対称鍵へ

結果として得られる共有シークレット`S`は、AESなどの暗号化アルゴリズムに適した対称鍵ではなく、曲線上の点です。鍵を導出するために、一般的な方法は、点`S`のx座標を取り、HKDF（HMACベースの鍵導出関数）などの鍵導出関数（KDF）を介して渡すことです。KDFは、共有シークレットとオプションでソルトおよびその他の情報を取り、目的の長さの暗号的に強力な鍵を生成します。

ランダムな`BigInt`としての秘密鍵の生成や、スカラー乗算の実行など、すべての基礎となる計算は、`BigInt`演算に大きく依存しています。

高度な操作2：署名からの公開鍵復元

多くのシステム、特にブロックチェーンでは、効率とデータ最小化が最も重要です。通常、署名を検証するには、メッセージ、署名自体、および署名者の公開鍵が必要です。ただし、楕円曲線デジタル署名アルゴリズム（ECDSA）の巧妙なプロパティを使用すると、メッセージと署名から公開鍵を直接復元できます。これは、公開鍵を送信する必要がなく、貴重なスペースを節約できることを意味します。

仕組み（ハイレベル）

ECDSA署名は、2つのコンポーネント（`r`、`s`）で構成されます。

• `r`は、ランダムな点`k * G`のx座標から導出されます。
• `s`は、メッセージハッシュ（`z`）、秘密鍵（`d`）、および`r`に基づいて計算されます。式は次のとおりです：`s = k_inverse * (z + r * d) mod n`。ここで、`n`は曲線の次数です。

署名検証方程式の代数的操作を通じて、公開鍵`Q`の式を導き出すことができます。ただし、このプロセスでは、2つの可能な有効な公開鍵が得られます。このあいまいさを解決するために、リカバリID（多くの場合、`v`または`recid`として示されます）と呼ばれる小さな追加情報が署名に含まれています。このIDは、通常0、1、2、または3で、可能なソリューションのどれが正しいか、および鍵のy座標が偶数か奇数かを指定します。

`BigInt`が不可欠な理由

公開鍵の復元に必要な数学的演算は集中的であり、モジュラー逆数、乗算、および256ビット数の加算が含まれます。たとえば、重要なステップには、`(r_inverse * (s*k - z)) * G`の計算が含まれます。これらの操作は、まさに`BigInt`が設計されたものです。これがないと、ネイティブJavaScriptでこれらの計算を実行することは、精度とセキュリティを大幅に低下させることなく不可能になります。

実用的なアプリケーション：Ethereumトランザクション

このテクニックは、Ethereumで有名に使用されています。署名付きトランザクションには、送信者の公開アドレスが直接含まれていません。代わりに、アドレス（公開鍵から導出されます）は、署名の`v`、`r`、および`s`コンポーネントから復元されます。この設計の選択により、すべてのトランザクションで20バイトが節約されます。これは、グローバルブロックチェーンの規模では大幅な節約になります。

高度な操作3：Schnorr署名と集約

ECDSAは広く使用されていますが、署名の可鍛性や集約プロパティの欠如など、特定の欠点があります。別のECCベースのスキームであるSchnorr署名は、これらの問題に対するエレガントなソリューションを提供し、多くの暗号研究者によって優れていると考えられています。

Schnorr署名の主な利点

• 証明可能なセキュリティ：ECDSAと比較して、より直接的で堅牢なセキュリティ証明があります。
• 非可鍛性：第三者が同じメッセージと鍵に対して有効な署名を別の有効な署名に変更することはできません。
• 線形性（スーパーパワー）：これは最も重要な利点です。Schnorr署名は線形であるため、強力な集約テクニックが可能です。

署名の集約について

線形性プロパティは、複数の署名者からの複数の署名を1つのコンパクトな署名に結合できることを意味します。これは、マルチ署名（マルチシグ）スキームにとって大きな変革をもたらします。

トランザクションが5人の参加者のうち3人の署名を必要とするシナリオを考えてみてください。ECDSAを使用すると、3つの個々の署名をすべてブロックチェーンに含める必要があり、かなりのスペースを占有します。

Schnorr署名を使用すると、プロセスははるかに効率的になります。

1. 鍵の集約：3人の参加者は、個々の公開鍵（`Q1`、`Q2`、`Q3`）を組み合わせて、1つの集約公開鍵（`Q_agg`）を作成できます。
2. 署名の集約：MuSig2のような共同プロトコルを通じて、参加者は集約公開鍵`Q_agg`に対して有効な1つの集約署名（`S_agg`）を作成できます。

その結果、トランザクションは外見上、標準的な単一署名者のトランザクションと同一に見えます。1つの公開鍵と1つの署名があります。これにより、複雑なマルチシグの設定が単純なものと区別できなくなるため、効率、スケーラビリティ、プライバシーが劇的に向上します。

`BigInt`の役割

集約の魔法は、単純な楕円曲線点の加算とスカラー演算に根ざしています。集約キーの作成には`Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`が含まれ、集約署名の作成には、曲線次数を法とする個々の署名コンポーネントの加算が含まれます。MuSig2のようなプロトコルの基礎を形成するこれらのすべての操作は、大きな整数と曲線座標で実行されるため、`BigInt`はJavaScriptでSchnorr署名と集約スキームを実装するための不可欠なツールになります。

実装上の考慮事項とセキュリティのベストプラクティス

BigIntを使用すると、これらの高度な操作を理解して実装できますが、本番環境グレードの暗号を構築するのは危険な作業です。いくつかの重要な考慮事項を以下に示します。

1. 本番環境で独自の暗号をロールしないでください

この記事は、基礎となるメカニズムを教育し、説明することを目的としています。本番アプリケーションのために、これらの暗号プリミティブをゼロから実装するべきではありません。`noble-curves`のような、十分に吟味され、監査され、ピアレビューされたライブラリを使用してください。これらのライブラリは、専門家によって特別に構築され、数多くの微妙ですが重要なセキュリティ問題に対応しています。

2. 一定時間操作とサイドチャネル攻撃

最も危険な落とし穴の1つは、サイドチャネル攻撃です。攻撃者は、システムの非機能的な側面（消費電力や操作にかかる正確な時間など）を分析して、秘密鍵に関する情報を漏洩させる可能性があります。たとえば、鍵の「1」ビットによる乗算が「0」ビットによる乗算よりもわずかに時間がかかる場合、攻撃者はタイミングの変動を観察して鍵を再構築できます。

JavaScriptの標準的な`BigInt`操作は、一定時間ではありません。その実行時間は、オペランドの値に依存する可能性があります。プロの暗号ライブラリは、秘密鍵に関与するすべての操作が、鍵の値に関係なく一定の時間量で実行されるように、高度に特殊化されたアルゴリズムを使用することで、この脅威を軽減します。

3. 安全な乱数生成

暗号システムのセキュリティは、そのランダム性の質から始まります。秘密鍵は、暗号的に安全な疑似乱数ジェネレーター（CSPRNG）を使用して生成する必要があります。JavaScript環境では、常に組み込みAPIを使用してください。

• ブラウザ：crypto.getRandomValues()
• Node.js：crypto.randomBytes()

暗号化目的で`Math.random()`を使用しないでください。これは、予測できないように設計されていないためです。

4. ドメインパラメータと公開鍵の検証

外部ソースから公開鍵を受信する場合は、検証することが重要です。攻撃者は、指定された楕円曲線上に実際にはない悪意のある点を提供する可能性があります。これにより、ECDH鍵交換中に秘密鍵を公開する攻撃（たとえば、無効な曲線攻撃）につながる可能性があります。定評のあるライブラリは、この検証を自動的に処理します。

結論

BigIntの登場は、JavaScriptエコシステム内の暗号化の状況を根本的に変えました。ECCを不透明なブラックボックスライブラリの領域から、ネイティブに実装および理解できるものへと移行させ、新しいレベルの透明性と機能性を促進しました。

この単一の機能が、最新のセキュアなシステムにとって不可欠な高度で強力な暗号化操作をどのように実現するかを調査しました。

• ECDH鍵交換：セキュアな通信チャネルを確立するための基盤。
• 公開鍵の復元：ブロックチェーンのようなスケーラブルなシステムにとって重要な効率向上テクニック。
• Schnorr署名：集約を通じて優れた効率、プライバシー、およびスケーラビリティを提供する次世代署名スキーム。

開発者およびアーキテクトとして、これらの高度な概念を理解することは、もはや単なる学術的な演習ではありません。これらは、BitcoinのTaprootアップグレードから、私たちの日常の会話を保護するセキュアなメッセージングプロトコルまで、今日のグローバルシステムに展開されています。最終的な実装は常に監査済みの専門家がレビューしたライブラリに任せる必要がありますが、`BigInt`のようなツールによって可能になったメカニズムの深い理解により、グローバルな視聴者向けにより安全で効率的かつ革新的なアプリケーションを構築することができます。